國二數學｜錯題延伸練習

依照 3 題錯題類型重新整理，每一題只保留 2 個難度：對應練習＋進階挑戰，共 6 題。

① 先自己算，再展開解答
② 每題都有重點觀念
③ 適合 iPad 與 PC 閱讀

錯題類型一：數列取值與次方和

核心方法：把每種數字出現的次數設成未知數，用平方和、立方和建立聯立方程式。

難度 1｜對應練習

題目 1

設 x1, x2, …, x80 是從 −2, 0, 3 這三個整數中取值的數列，且滿足：
x12 + x22 + … + x802 = 265
x13 + x23 + … + x803 = 595
求 x14 + x24 + … + x804 的值。
查看重點觀念與解題過程
重點觀念：不要一個一個列 80 個數。只要知道 −2 出現幾次、3 出現幾次，就能算出四次方和；0 的任何正整數次方都是 0，所以不影響加總。
  1. 設 −2 出現 a 次，0 出現 b 次，3 出現 c 次。
  2. 平方和：(−2)2a + 32c = 265，所以 4a + 9c = 265。
  3. 立方和：(−2)3a + 33c = 595，所以 −8a + 27c = 595。
  4. 把 4a + 9c = 265 乘以 2，得 8a + 18c = 530。再和 −8a + 27c = 595 相加，得 45c = 1125，所以 c = 25。
  5. 代回 4a + 9c = 265：4a + 225 = 265，所以 a = 10。
  6. 四次方和為 (−2)4a + 34c = 16×10 + 81×25 = 160 + 2025 = 2185。
答案：2185
難度 2｜進階挑戰

題目 2

設 x1, x2, …, x90 是從 −4, 0, 2 這三個整數中取值的數列，且滿足：
x12 + x22 + … + x902 = 428
x13 + x23 + … + x903 = −872
求 x14 + x24 + … + x904 的值。
查看重點觀念與解題過程
重點觀念：遇到負數時，偶次方變正、奇次方保留負號。平方和與立方和的正負變化，正好可以幫我們分辨負數與正數各出現幾次。
  1. 設 −4 出現 a 次，2 出現 c 次。0 的次數不用先求，因為它不影響平方、立方、四次方的加總。
  2. 平方和：16a + 4c = 428，兩邊同除以 4，得 4a + c = 107。
  3. 立方和：−64a + 8c = −872，兩邊同除以 8，得 −8a + c = −109。
  4. 由 4a + c = 107 得 c = 107 − 4a。
  5. 代入 −8a + c = −109：−8a + 107 − 4a = −109，所以 −12a = −216，得 a = 18。
  6. 再求 c = 107 − 4×18 = 35。
  7. 四次方和為 (−4)4×18 + 24×35 = 256×18 + 16×35 = 4608 + 560 = 5168。
答案：5168

錯題類型二：同類項與指數相等

核心方法：同類項的變數種類相同，且每個變數的指數都要相同；係數可以不同。

難度 1｜對應練習

題目 3

若 5x2a+b−3 與 −3xa+2b−2 為同類項，−2x3a−b+1 與 7xa+2b+1 為同類項，求 3a + 2b。
查看重點觀念與解題過程
重點觀念：同類項只看「變數和指數」是否相同，不看係數。因此 5、−3、−2、7 不影響同類項判斷。
  1. 由第一組同類項得指數相等：2a + b − 3 = a + 2b − 2，整理得 a − b = 1。
  2. 由第二組同類項得指數相等：3a − b + 1 = a + 2b + 1，整理得 2a = 3b。
  3. 由 a − b = 1 得 a = b + 1。
  4. 代入 2a = 3b：2(b+1)=3b，所以 2b+2=3b，得 b=2。
  5. 因此 a=b+1=3。
  6. 所以 3a+2b = 3×3 + 2×2 = 9+4 = 13。
答案：13
難度 2｜進階挑戰

題目 4

若 4x2a−b+1ya+3b+4 與 −9xa+2b+3y3a−b−2 為同類項，求 2a + 5b。
查看重點觀念與解題過程
重點觀念：有兩個變數時，x 的指數要相等，y 的指數也要相等，所以通常會得到兩個方程式。
  1. 比較 x 的指數：2a − b + 1 = a + 2b + 3，整理得 a − 3b = 2。
  2. 比較 y 的指數：a + 3b + 4 = 3a − b − 2，整理得 a − 2b = 3。
  3. 用第二式減第一式：(a−2b) − (a−3b) = 3 − 2，得 b = 1。
  4. 代回 a − 3b = 2：a − 3 = 2，所以 a = 5。
  5. 因此 2a + 5b = 2×5 + 5×1 = 15。
答案：15

錯題類型三：單項式相加仍為單項式

核心方法：兩個單項式相加後若仍能合併成一個單項式，表示它們必須是同類項；再同時比較係數與指數。

難度 1｜對應練習

題目 5

已知單項式 0.4xbyc 與單項式 −0.1xm−2y2n+1 的和為 1.5axnym，求 abc 的值。
查看重點觀念與解題過程
重點觀念：能合併成一個單項式，代表三個單項式的 x 指數相同、y 指數相同；係數則另外相加。
  1. 先看係數：0.4 + (−0.1) = 0.3，而結果係數是 1.5a，所以 1.5a = 0.3，得 a = 0.2 = 1/5。
  2. 比較 x 的指數：b = m − 2 = n，所以 m − 2 = n，也就是 m = n + 2。
  3. 比較 y 的指數：c = 2n + 1 = m，所以 m = 2n + 1。
  4. 把 m = n + 2 與 m = 2n + 1 合併：n + 2 = 2n + 1，得 n = 1。
  5. 因此 m = n + 2 = 3，所以 b = n = 1，c = m = 3。
  6. 最後 abc = (1/5)×1×3 = 3/5。
答案：3/5
難度 2｜進階挑戰

題目 6

已知單項式 (3/8)xbyczd 與單項式 −(1/6)xm+2y2n−3zn+2 的和為 (5/24)ax2n−1ymzc，求 abcd 的值。
查看重點觀念與解題過程
重點觀念：變成三個變數時，仍然是一樣的規則：x、y、z 的指數都要各自相等；係數用分數計算比較不容易出錯。
  1. 先看係數：3/8 − 1/6 = 9/24 − 4/24 = 5/24。
  2. 結果係數是 (5/24)a，所以 (5/24)a = 5/24，得 a = 1。
  3. 比較 x 的指數：b = m + 2 = 2n − 1。
  4. 比較 y 的指數：c = 2n − 3 = m，所以 m = 2n − 3。
  5. 比較 z 的指數：d = n + 2 = c。又因為上一列 c = m，所以 m = n + 2。
  6. 把 m = 2n − 3 和 m = n + 2 合併：2n − 3 = n + 2，得 n = 5。
  7. 所以 m = n + 2 = 7，b = m + 2 = 9，c = m = 7，d = n + 2 = 7。
  8. 最後 abcd = 1×9×7×7 = 441。
答案：441

答案速查

練習完成後再看這張表，檢查答案即可。

題號類型難度答案
1數列取值與次方和對應練習2185
2數列取值與次方和進階挑戰5168
3同類項與指數相等對應練習13
4同類項與指數相等進階挑戰15
5單項式相加仍為單項式對應練習3/5
6單項式相加仍為單項式進階挑戰441
建議使用方式：先收合解答練習，完成後再展開檢查步驟。